Question

6．已知函數f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
（1）若a＞0，求f（x）的單凋遞增區間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的圖象和性質將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，對a的正負進行討論，求出f（x）的取值最大和最小值，即可求a、b的值．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
∵a＞0，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$可得kπ$-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ$+\frac{π}{8}$，（k∈Z）
∴f（x）的單凋遞增區間為[kπ$-\frac{3π}{8}$，kπ$+\frac{π}{8}$]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
①若a＞0時，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為$\sqrt{2}a+a+b$，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數f（x）取得最小值為b，
由題意可得：b=3，$\sqrt{2}a+a+b$=4，解得a=$\sqrt{2}-1$．
∴a、b的值分別為：$\sqrt{2}-1$，3．
②若a＜0時，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為$\sqrt{2}a+a+b$，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數f（x）取得最大值為b，
由題意可得：b=4，$\sqrt{2}a+a+b$=3，解得a=.$1-\sqrt{2}$
∴a、b的值分別為：1$-\sqrt{2}$，4．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．