Question

10．已知點P在拋物線x²=y上運動，過點P作y軸的垂線段PD，垂足為D．動點M（x，y）滿足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，設點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=-1，若經過點F（0，1）的直線與曲線C相交于A、B兩點，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為A₁、B₁，試判斷直線A₁F與B₁F的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知點P為線段DM的中點，$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$，利用點P在拋物線x²=y上，然后求解曲線C的方程．
（Ⅱ）判斷：直線A₁F與B₁F垂直，證明如下：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-1），B₁（x₂，-1），由已知，直線AB的斜率k存在，設其方程為y=kx+1，聯立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，通過計算$\overrightarrow{{A}_{1}F}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$的數量積，推出結果．

解答 （本小題滿分12分）
解（Ⅰ）設P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知點P為線段DM的中點，故$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$…（2分）
因為點P在拋物線x²=y上，故${x_0}^2={y_0}$，從而${（\frac{1}{2}x）^2}=y$…（4分）
即曲線C的方程為x²=4y…（5分）
（Ⅱ）判斷：直線A₁F與B₁F垂直，…（6分）
證明如下：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-1），B₁（x₂，-1），由已知，直線AB的斜率k存在，設其方程為y=kx+1．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得：x²-4kx-4=0…（8分）
所以x₁x₂=-4，…（9分）
因為 $\overrightarrow{{A_1}F}=（-{x_1}，2）$，$\overrightarrow{{B_1}F}=（-{x_2}，2）$，…（10分）
故$\overrightarrow{{A_1}F}•\overrightarrow{{B_1}F}={x_1}{x_2}+4=0⇒\overrightarrow{{A_1}F}⊥\overrightarrow{{B_1}F}$…（11分）
所以直線A₁F與B₁F垂直．…（12分）
（其它解法參照給分）

點評 本題考查拋物線的方程的求法，直線與拋物線的位置關系的綜合應用，斜率的數量積與直線的垂直關系，考查轉化思想以及計算能力．