Question

20．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術語，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，皆六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一，依此算法，現有上、下底面為相似矩形的棱臺，相似比為$\frac{1}{2}$，高為3，其上底面的周長為6，則該棱臺的體積的最大值為（　　）

• A． 14
• B． 56
• C． $\frac{63}{4}$
• D． 63

Answer 1

分析 設上底面的長為x，寬為y，則x+y=3，x＞0，y＞0，由此得到該棱臺的體積V=[（2x+2x）y+（4x+x）•2y]×$3×\frac{1}{6}$，利用基本不等式能求出該棱臺的體積的最大值．

解答 解：設上底面的長為x，寬為y，則x+y=3，x＞0，y＞0，
∴該棱臺的體積V=[（2x+2x）y+（4x+x）•2y]×$3×\frac{1}{6}$=7xy≤7×（$\frac{x+y}{2}$）²=7×$\frac{9}{4}$=$\frac{63}{4}$．
∴該棱臺的體積的最大值為$\frac{63}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查棱臺的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．