Question

1．設函數F（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$，其中x-log₂f（x）=0，則函數F（x）是（　　）

• A． 奇函數且在（-∞，+∞）上是增函數
• B． 奇函數且在（-∞，+∞）上是減函數
• C． 偶函數且在（-∞，+∞）上是增函數
• D． 偶函數且在（-∞，+∞）上是減函數

Answer 1

分析 根據題意，由對數的運算性質可得f（x）=2^x，進而可得函數F（x）的解析式，對于F（x），先分析其定義域，進而分析可得F（-x）=-F（x），即可得函數F（x）為奇函數，進而利用定義法證明可得函數為增函數，綜合可得答案．

解答 解：根據題意，x-log₂f（x）=0，即x=log₂f（x），變形可得f（x）=2^x，
函數F（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$=2^x-2^-x，
其定義域為R，且F（-x）=2^-x-2^x=-F（x），
故函數F（x）奇函數；
函數F（x）=2^x-2^-x=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
設x₁＞x₂，
F（x₁）-F（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-（${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$），
又由x₁＞x₂，則${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，則有${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＞0，
故F（x₁）-F（x₂）＞0，
即函數F（x）為增函數；
故選：A．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的判斷，關鍵是利用對數的運算性質求出f（x）和F（x）的解析式．