Question

5．直線l與雙曲線x²-4y²=4相交于A、B兩點，若點P（4，1）為線段AB的中點，則直線l的方程是x-y-3=0．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減，根據中點的坐標可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進而求得直線AB的斜率，根據點斜式求得直線的方程．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，y₁+y₂=2，
∵x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₂²=4，
兩式相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴8（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=1，
∴直線的方程為y-1=1（x-4），即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0．

點評 涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．