Question

2．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
（I）證明：曲線y=f（x）在x=1處的切線恒過定點，并求出該定點的坐標；
（II）若關于x的不等式f（x）≤（a-1）x恒成立，求整數a的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出導函數，得出切線方程，化為斜截式可得出定點坐標；
（II）構造函數g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x，把恒成立問題轉化為最值問題進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-ax，
∴f'（1）=1-a，f（1）=-$\frac{1}{2}$a+1，
∴在x=1處的切線為y-（-$\frac{1}{2}$a+1）=（1-a）（x-1），
∴y=-a（x-$\frac{1}{2}$）+x，恒過（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（II）令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x≤0恒成立，
∵g'（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
（1）當a≤0時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
g（1）=-$\frac{3}{2}$a+2＞0，不成立；
（2）當a＞0時，
當x在（0，$\frac{1}{a}$）時，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當x在（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，
∴函數最大值g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-lna，
令h（a）=$\frac{1}{2a}$-lna，可知為減函數，
∵h（1）＞0，h（2）＜0，
∴整數a的最小值為2．

點評 本題考查了導函數的應用和對直線方程的理解．難點是對函數的構造和參數的分類討論．