Question

14．已知數(shù)列{a_n}為公差不為0的等差數(shù)列，滿(mǎn)足a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），且b₁=$\frac{1}{3}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，列方程，解方程即可得到首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{n-1}}$-$\frac{1}{{b}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+$\frac{1}{{b}_{1}}$，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2），b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比數(shù)列．
可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=21}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+20d）=（{a}_{1}+5d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+3，n∈N*．
（2）由$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{n-1}}$-$\frac{1}{{b}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+$\frac{1}{{b}_{1}}$
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+$\frac{1}{{b}_{1}}$=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=$\frac{1}{2}$（n-1）（2n+6）+3=n（n+2），
對(duì)b₁=$\frac{1}{3}$上式也成立，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2），
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，以及數(shù)列的恒等式，數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．