Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，橢圓截直線所得線段的長度為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的動直線與橢圓相交于，兩點，若（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據直線與圓相切，以及橢圓中截得的弦長即可列方程求得，則問題得解；

（2）設出直線方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，結合向量的模長關系，即可容易求得.

（1）以線段為直徑的圓方程為，

因為其與直線相切，

故可得，

又滿足橢圓方程，故可得，

故可得，

故可得橢圓方程為.

（2）因為，故可得，

設坐標分別為，即；

設直線方程為，

聯立橢圓方程可得，

若要使得直線與橢圓交于兩點，

則，

解得，即.

故可得，

則

.

要滿足題意，只需，

即，則.

綜上所述：.