【題目】設函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若函數在
零點，證明：
.
【答案】（1）在
上是增函數，在
上是減函數； （2）
.
【解析】
（1）先確定函數的定義域，然后求
，進而根據導數與函數單調性的關系，判斷函數
的單調區間；
（2）采用分離參數法，得
，根據在
上存在零點，可知有解，構造
，求導
，知在上存在唯一的零點，即零點k滿足
，進而求得
，再根據有解，得證
（1）解：函數的定義域為
，
因為
，所以
．
所以當
時，
，在
上是增函數；
當
時，
，在
上是減函數．
所以在上是增函數，在上是減函數．
（2）證明：由題意可得，當
時，
有解，
即
有解．
令，則
．
設函數
，所以
在上單調遞增．
又
，所以在上存在唯一的零點．
故在上存在唯一的零點．設此零點為
，則
．
當
時，
；當
時，
．
所以
在上的最小值為
．
又由，可得
，所以
，
因為
在上有解，所以
，即．
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三個關于x的不等式：①
；②
；③
（1）分別求出①和②的解集；
（2）若同時滿足①和②的x值也滿足③，求m的取值范圍；
（3）若同時滿足③的x至少滿足①和②的一個，求m的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，函數
，
，其中
為常數且
，令函數
.
(1)求函數
的表達式，并求其定義域；
(2)當
時,求函數的值域；
(3)是否存在自然數，使得函數的值域恰為
？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數所構成的集合；若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】請在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數
存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
已知集合
.
（1）求集合
；
（2）若
是
成立的______條件，判斷實數是否存在？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，
ADC=PAB=90°，BC=CD=
AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.
（I）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。
（1）分別寫出兩類產品的收益與投資額的函數關系式；
（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其最大收益為多少萬元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黨的十八提出：倡導“富強、民主、文明、和諧、自由、平等、公正、法治、愛國、敬業、誠信、友善”社會主義核心價值觀.現將這十二個詞依次寫在六張規格相同的卡片的正反面（無區分），（如“富強、民主”寫在同一張卡片的兩面），從中任意抽取1張卡片，則寫有“愛國”“誠信”兩詞中的一個的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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