Question

【題目】設函數，函數，，其中為常數且，令函數.

(1)求函數的表達式，并求其定義域；

(2)當時,求函數的值域；

(3)是否存在自然數，使得函數的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數所構成的集合；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1），其定義域為[0，a]；（2）值域為 ；（3）a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【解析】

（1）求出函數f（x）的表達式，由g（x），h（x）的定義域求解函數f（x）的定義域．

（2）當時，函數f（x）的定義域即可確定，利用換元和基本不等式求最值即可；

（3）結合（2）利用函數的值域求出關于a的表達式，求出a的范圍即可．

（1），其定義域為[0，a]；

（2）令，則且x＝（t﹣1）2

∴

∴

∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴在上遞增，即此時f（x）的值域為

（3）令，則且x＝（t﹣1）2∴

∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴y在[1，2]上遞增，上遞減，

t＝2時的最大值為，

∴a≥1，又1＜t≤2時

∴由f（x）的值域恰為，由，解得：t＝1或t＝4

即f（x）的值域恰為時，

所求a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．