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5.對任意兩實數a、b,定義運算“max{a,b}”如下:max{a,b}=$\left\{\begin{array}{l}{a(a≥b)}\\{b(a<b)}\end{array}\right.$,則關于函數f(x)=max{sinx,cosx},下列命題中:
①函數f(x)的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1];         
②函數f(x)是周期函數;
③函數f(x)的對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{4}(k∈{Z})$;
④當且僅當x=2kπ(k∈Z)時,函數f(x)取得最大值1;
⑤當且僅當2kπ<x<2kπ+$\frac{3}{2}π(k∈{Z})$時,f(x)<0;
正確的是①②③(填上你認為正確的所有答案)

分析 畫出函數y=f(x)的圖象,通過函數圖象可以直觀的看出何時取到最值,對稱軸以及周期性等問題.

解答 解:畫出函數y=f(x)的圖象如圖所示;

由圖可知:
①函數f(x)的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],∴①正確;         
②函數f(x)是最小正周期為2π的函數,∴②正確;
③函數f(x)的對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{4}(k∈{Z})$,∴③正確;
④x=2kπ或x=2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)時,函數f(x)取得最大值1,∴④錯誤;
⑤當且僅當2kπ+π<x<2kπ+$\frac{3}{2}π(k∈{Z})$時,f(x)<0,∴⑤錯誤;
綜上,正確的命題序號是①②③.
故答案為:①②③.

點評 本題考查了分段函數的定義、圖象與性質的應用問題,也考查了畫圖與識圖的能力,是中檔題.

練習冊系列答案
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