Question

5．對任意兩實數a、b，定義運算“max{a，b}”如下：max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，則關于函數f（x）=max{sinx，cosx}，下列命題中：
①函數f（x）的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；         
②函數f（x）是周期函數；
③函數f（x）的對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{4}（k∈{Z}）$；
④當且僅當x=2kπ（k∈Z）時，函數f（x）取得最大值1；
⑤當且僅當2kπ＜x＜2kπ+$\frac{3}{2}π（k∈{Z}）$時，f（x）＜0；
正確的是①②③（填上你認為正確的所有答案）

Answer 1

分析 畫出函數y=f（x）的圖象，通過函數圖象可以直觀的看出何時取到最值，對稱軸以及周期性等問題．

解答 解：畫出函數y=f（x）的圖象如圖所示；

由圖可知：
①函數f（x）的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴①正確；         
②函數f（x）是最小正周期為2π的函數，∴②正確；
③函數f（x）的對稱軸為x=kπ+$\frac{π}{4}（k∈{Z}）$，∴③正確；
④x=2kπ或x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，函數f（x）取得最大值1，∴④錯誤；
⑤當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3}{2}π（k∈{Z}）$時，f（x）＜0，∴⑤錯誤；
綜上，正確的命題序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了分段函數的定義、圖象與性質的應用問題，也考查了畫圖與識圖的能力，是中檔題．