Question

如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C，D為⊙O上任意兩點，∠CAB=45°，∠DAB=60°，F為

BC

的中點，沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直．
（1）求證：OF∥面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）只要證明OF∥AC即可；
（2）過O作OE⊥AD于點E，連接CE，∠CEO是二面角C-AD-B的平面角，然后求之．

解答： 解：（1）連接CO，∵∠CAB=45°，OA=OC，∴CO⊥AB，又∵F為

BC

的中點，∴∠FOB=45°，
∴OF∥AC，
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
（2）過O作OE⊥AD于點E，連接CE，
∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABD，
∴CO⊥平面ABD，
又∵AD?平面ABD，
∴CO⊥AD，∴AD⊥平面CEO，∴AD⊥CE，
則∠CEO是二面角C-AD-B的平面角
∵∠OAD=60°，OA=2，∴OE=

3

，
由CO⊥平面ABD，OE?平面ABD，得△CEO為直角三角形，
∵CO=1，∴CE=

7

，∴cos∠CEO=

3

7

=

21

7

．
所以∠CEO=arccos

21

7

．

點評：本題考查了線面平行的判定和二面角的平面角的求法，關鍵是將所求轉化為線線平行、平面角解答，屬于中檔題．