Question

7．已知f（x）=x+$\frac{9}{x}$在區間[1，4]上的最小值為n，則二項式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中x²的系數為15．

Answer 1

分析 利用導數研究函數f（x）的單調性，即可得出最小值．再利用二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-3）}{{x}^{2}}$，x∈[1，4]．
令f′（x）=0，解得x=3．∴x∈[1，3]時，函數f（x）單調遞減；x∈（3，4]時，函數f（x）單調遞增．
∴x=3時，函數f（x）取得最小值6．
∴$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通項公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=2，解得r=2．
∴二項式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中x²的系數為${∁}_{6}^{2}$=15．
故答案為：15．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、二項式定理的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．