Question

18．已知a＞0，b＞0，且滿足3a+b=a²+ab，則2a+b的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，且滿足3a+b=a²+ab，可得b=$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$＞0，解得1＜a＜3．則2a+b=2a+$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由a＞0，b＞0，且滿足3a+b=a²+ab，∴b=$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$＞0，解得1＜a＜3．
則2a+b=2a+$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3≥2$\sqrt{（a-1）•\frac{2}{a-1}}$+3=2$\sqrt{2}$+3，當且僅當a=1+$\sqrt{2}$，b=1時取等號．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．