Question

9．已知雙曲線方程為16x²-9y²=144．
（1）求該雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率；
（2）若拋物線C的頂點是該雙曲線的中心，而焦點是其左頂點，求拋物線C的方程．

Answer 1

分析 （1）將雙曲線方程化為標準方程，求出a，b，c，即可得到所求實軸長、虛軸長、離心率；
（2）求出雙曲線的中心坐標和左頂點坐標，設拋物線C的方程為y²=-2px（p＞0），由焦點坐標，可得p的方程，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）雙曲線方程為16x²-9y²=144，
即為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得a=3，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
則雙曲線的實軸長為2a=6、虛軸長2b=8、離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
（2）拋物線C的頂點是該雙曲線的中心（0，0），
而焦點是其左頂點（-3，0），
設拋物線C的方程為y²=-2px（p＞0），
由-$\frac{p}{2}$=-3，解得p=6．
則拋物線C的方程為y²=-12x．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是實軸、虛軸長和離心率，考查拋物線的方程和性質，注意運用方程思想，考查運算能力，屬于基礎題．