Question

1．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單凋區間；
（2）若函數g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）求證：$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$＞0．

Answer 1

分析 （1）求得F（x）的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，注意定義域；
（2）設切點坐標為（x₀，lnx₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$），求得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b關于x₀的關系式，構造函數，求出導數和單調區間，即可得到所求最小值；
（3）方法一、令$G（x）=lnx-\frac{1}{x}-2x+3$，結合（1）可得$lnx-\frac{1}{x}≤2x-3$．再由e^x≥x+1，可得$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2[{（{x-\frac{5}{2}}）+1}]$=2x-3（x＞0），即可得證；
方法二、令$P（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$，求出導數，求出單調區間，運用零點存在定理，求得極值點的范圍，運用單調性，即可得證．

解答 解：（1）a=2時，F（x）=f（x）-g（x）=$lnx-\frac{1}{x}-2x-b$，
$F'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-2（{x＞0}）$，$F'（x）=\frac{{x+1-2{x^2}}}{x^2}=\frac{{（{1-x}）（{1+2x}）}}{x^2}$，
解F'（x）＞0得0＜x＜1，解F'（x）＜0得x＞1，
∴F（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）；
（2）設切點坐標為（x₀，lnx₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$），$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$，
切線斜率$a=f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}$，又$ln{x_0}-\frac{1}{x_0}=a{x_0}+b$，
∴$b=ln{x_0}-\frac{2}{x_0}-1$，∴$a+b=ln{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}-\frac{1}{x_0}-1$，
令$h（x）=lnx+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-1（{x＞0}）$，
$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{{x^2}+x-2}}{x^3}$=$\frac{{（{x+2}）（{x-1}）}}{x^3}$，
解h'（x）＜0得0＜x＜1，解h'（x）＞0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）≥h（1）=-1，∴a+b的最小值為-1；
（3）證法一：令$G（x）=lnx-\frac{1}{x}-2x+3$，
由（1）知（G（x））_max=G（1）=0，∴$lnx-\frac{1}{x}≤2x-3$．
又由y=e^x-x-1，y′=e^x-1，可得函數y在（0，+∞）遞增，在（-∞，0）遞減，
即有函數y有最小值0，即e^x≥x+1，
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2[{（{x-\frac{5}{2}}）+1}]$=2x-3（x＞0）
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2x-3≥lnx-\frac{1}{x}$，（兩個等號不會同時成立）
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}＞0$．
法二：令$P（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$，$P'（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$
顯然P'（x）在（0，+∞）上遞增，P'（1）＜0，P'（2）＞0
∴P'（x）=0在（0，+∞）上有唯一實根x^*，且x^*∈（1，2），
$2{e^{x*-\frac{5}{2}}}=\frac{1}{x^*}+$$\frac{1}{{{{（{x^*}）}^2}}}$，
∴P（x）在（0，x^*）上遞減，在（x^*，+∞）上遞增，
∴P（x）≥P（x^*）=$2{e^{{x^*}-\frac{5}{2}}}-ln{x^*}+\frac{1}{x^*}$
=$\frac{2}{x^*}+\frac{1}{{{{（{x^*}）}^2}}}-ln{x^*}$$＞\frac{2}{2}+\frac{1}{4}-ln2＞0$
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}＞0$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用構造法和函數的單調性，以及轉化思想的運用，考查變形能力及函數零點存在定理的運用，屬于難題．