Question

20．已知$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夾角為60°的兩個單位向量，則$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$與$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夾角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$與$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夾角為θ，利用兩個向量的數量積的定義，兩個向量的夾角公式求得cosθ的值，可得sinθ 的值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，設$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$與$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$+2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=-6+$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{7}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{4+4×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{7}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2π}{3}$，∴sinθ=$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的夾角公式的應用，屬于中檔題．