Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，求出幾何量a，b，c，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，∵雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∵c²=a²+b²，
∴a=2，b=1，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查待定系數法的運用，確定雙曲線的幾何量是關鍵．