Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線l與橢圓C相切，試判斷橢圓兩焦點F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之積是否為定值，若是求出此定值；否則，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：e=

c

a

=

2

2

，∴e²=

1

2

，
∴a²=2b²，
又因為圓x²+y²=b²與直線x+y-

2

=0相切，
b²=1，a²=2，
故所求橢圓C方程為

x2

2

+y²=1，
（Ⅱ）由題意設直線l方程為：y=kx+t，
由

y=kx+t x2 2 +y2=1

去y得，（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直線l與橢圓C相切，∴△=0，
即（4tk）²-4（1+2k²）（2t²-2）=0，
化簡得：t²=1+2k²，
設橢圓兩焦點F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離分別為d₁，d₂，則
d₁•d₂=

|-k+t||k+t|

1+k2• 1+k2

=

|-k2+t2|

1+k2

=

|-k2+1+2k2|

1+k2

=1，
故橢圓的兩焦點F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之積是定值，定值為1．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，聯(lián)立方程組求解，屬于中檔題．