Question

在等比數列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．
（Ⅰ）設S_n為{a_n}的前n項和，證明：S_n+2=2a_n；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是3，a₁，a₂，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：等比數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由于等比數列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．可得a_n=2ⁿ，S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，即可證明．
（II）△ABC中，三邊分別是3，a₁=2，a₂=2×2=4．由余弦定理可得cosC．因此sinC=

1-cos2C

．再利用△ABC的面積S=

1

2

absinC即可得出．

解答： （I）證明：∵等比數列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．∴a_n=2ⁿ，S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹=2a_n．
（II）解：△ABC中，三邊分別是3，a₁=2，a₂=2×2=4．
由余弦定理可得cosC=

32+22-42

2×3×2

=-

1

4

．
∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

．
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×3×2×

15

4

=

3 15

4

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、余弦定理及其三角形的面積計算公式、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．