Question

已知偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1）且x∈[0，1]時f（x）=x，則函數g（x）=f（x）-log₃|x|的零點個數共有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：由題目給出的等式及函數是偶函數可得函數的周期為2，再由函數在x∈[-1，0]時，f（x）=x，且函數是偶函數知函數在x∈[-1，0]時的解析式仍為f（x）=-x，
所以函數在整個定義域上的圖象可知，分析函數y=log₃x在x=3時的函數值為1，所以兩函數圖象的交點可知，即函數g（x）的零點個數可求

解答： 解：由f（1+x）=f（1-x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1-x-1），
所以f（x+2）=f（-x），又因為函數為偶函數，
所以f（x+2）=f（-x）=f（x），所以函數f（x）是以2為周期的周期函數．
因為當x∈[-1，0]時，f（x）=x，由偶函數可知，當x∈[-1，0]時，f（x）=-x，
所以函數f（x）的圖象是f（x）=x在[-1，1]內的部分左右平移2個單位周期出現，
0求函數g（x）=f（x）-|log₃x|的零點個數，就是求兩函數y=f（x）與y=|log₃x|的交點個數，由于log₃3=1，所以兩函數在（0，3]內有2個交點，
根據對稱性可知：[-3，0）內有2個交點，
所以交點總數為4個，所以函數g（x）=f（x）-|log₃x|的零點個數為4．
故選：D．

點評：本題考查了函數的周期性與函數的零點，考查了函數周期的求法，解答此題的關鍵是明確函數g（x）的零點個數就是兩函數y=f（x）與y=log₃x的交點個數．