Question

7．如圖，以A、B、C、D、E為頂點的六面體中，△ABC和△ABD均為等邊三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=$\sqrt{3}$，AB=2．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求此六面體的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作DF⊥AB，交AB于F，連結CF，推導出四邊形DECF為平行四邊形，從而DE∥CF，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）推導出F是AB中點，CF⊥AB，DF⊥CF，從而CF⊥平面ABD，由六面體ABCED的體積=四面體ABDE的體積+四面體ABCE的體積，能求出六面體的體積．

解答 證明：（Ⅰ）作DF⊥AB，交AB于F，連結CF．
因為平面ABC⊥平面ABD，所以DF⊥平面ABC，
又因為EC⊥平面ABC，從而DF∥EC． …3 分
因為△ABD是邊長為2的等邊三角形，所以$DF=\sqrt{3}$，
因此DF=EC，于是四邊形DECF為平行四邊形，所以DE∥CF，
因為DE?平面ABC，CF?平面ABC，所以DE∥平面ABC  …6 分
解：（Ⅱ）因為△ABD是等邊三角形，所以F是AB中點，
而△ABC是等邊三角形，因此CF⊥AB，
由DF⊥平面ABC，知DF⊥CF，從而CF⊥平面ABD，
又因為DF∥EC，所以DE⊥平面ABD，
因此四面體ABDE的體積為$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•DE=1$，…9 分
四面體ABCE的體積為$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CE=1$，
而六面體ABCED的體積=四面體ABDE的體積+四面體ABCE的體積
故所求六面體的體積為2．…12 分

點評 本題考查線面平行的證明，考查六面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．