Question

11．已知曲線C的極坐標方程為 ρ=2cosθ，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=m．若直線l與曲線C有且只有一個公共點，求實數m的值．

Answer 1

分析 由曲線C的極坐標方程為 ρ=2cosθ，轉化成化為直角坐標方程為x²+y²=2x，轉化成標準方程，即可求得圓心與半徑，將直線l的方程轉化成標準方程：x+$\sqrt{3}$y-2m，由題意可知：$\frac{|1-2m|}{2}$=1，求得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．

解答 解：曲線C的極坐標方程為 ρ=2cosθ，
化為直角坐標方程為x²+y²=2x．
即（x-1）²+y²=1，表示以（1，0）為圓心，1為半徑的圓． …3分
直線l的極坐標方程是 ρ in（θ+$\frac{π}{6}$）=m，即$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，
化為直角坐標方程為x+$\sqrt{3}$y-2m=0． …6分
由直線l與曲線C有且只一個公共點，
∴$\frac{|1-2m|}{2}$=1，解得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．
∴所求實數m的值為-$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$． …10分．

點評 本題考圓的參數方程轉化成標準方程，直線的極坐標轉化成直角坐標，直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．