Question

2．已知函數f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$．
（1）若a=2，利用定義法證明：函數f（x）在（-∞，-1）上是增函數；
（2）若函數f（x）在區間（-∞，-1）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=2時，分離常數得出$f（x）=2-\frac{3}{x+1}$，根據增函數的定義，設任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在（-∞，-1）上是增函數；
（2）分離常數得出$f（x）=a-\frac{a+1}{x+1}$，根據f（x）在區間（-∞，-1）上是減函數便可得出a+1＜0，從而得出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：a=2時，$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2（x+1）-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$；
設x₁＜x₂＜-1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{2}+1}-\frac{3}{{x}_{1}+1}$=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0；
∴$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函數；
（2）$f（x）=\frac{ax-1}{x+1}$
=$\frac{a（x+1）-a-1}{x+1}$
=$a-\frac{a+1}{x+1}$；
∵f（x）在（-∞，-1）上是減函數；
∴a+1＜0；
∴a＜-1；
∴實數a的取值范圍為（-∞，-1）．

點評 考查分離常數法的運用，增函數、減函數的定義，以及根據增函數定義證明一個函數為增函數的方法和過程，清楚反比例函數的單調性．