Question

12．在△ABC中，若b，a，c成等差數(shù)列，且sin²A=sinBsinC，則△ABC的形狀為（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等邊三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由三角形的三邊成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到b+c=2a，記作①，再由sinA，sinB及sinC成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到一個(gè)關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)sin²A=sinBsinC得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②消去a得到關(guān)于b與c的關(guān)系式，變形可得出b=c，從而得到a，b及c都相等，故三角形為等邊三角形．

解答 解：∵△ABC的三邊b，a，c成等差數(shù)列，
∴b+c=2a①，
又sin²A=sinBsinC，
根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得：a²=bc②，
由①得：a=$\frac{b+c}{2}$，代入②得：
$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=bc，即（b-c）²=0，
∴b=c，故a=b=c，
則三角形為等邊三角形．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理以及等邊三角形的判定，靈活運(yùn)用等差及等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦定理得出關(guān)于三角形三邊的兩關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．