Question

3．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對任意m∈R直線l與圓C總有兩個交點A，B；
（2）若定點P（1，1）分弦AB為$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，求此直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據直線l的方程可得直線經過定點H（1，1），而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，
故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，將直線與圓的方程聯立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，利用韋達定理得出結論．

解答 （1）證明：由于直線l的方程是mx-y+1-m=0，即y-1=m（x-1），
直線恒過定點（1，1），且這個點在圓內，故直線L與圓C總有兩個不同的交點．
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，
即x₂=3-2x₁…①．
將直線與圓的方程聯立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ …②，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$…③
①②聯立可得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，${x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{{1+{m^2}}}$代入③得m=±1，
所以直線方程為x-y=0或x+y-2=0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判定，直線過定點問題，求直線方程，屬于中檔題．