Question

7．已知a，b為常數，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有兩個相等實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x）+$\frac{m}{{x}^{2}}$，試判斷F（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0，且f（x）=x有兩個相等的實數根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）根據（1）所求的解析式，判斷x∈[1，2]上的單調性，然后求解即可；
（3）根據奇偶函數的定義進行判斷和證明．

解答 解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有兩個相等的實數根，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）由（1）知f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
顯然函數f（x）在[1，2]上是減函數，
∴x=1時，y_max=$\frac{1}{2}$；x=2時，y_min=0．
∴x∈[1，2]時，函數的值域是[0，$\frac{1}{2}$]；
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）+$\frac{m}{{x}^{2}}$=2x+$\frac{m}{{x}^{2}}$，
m=0時，F（x）=2x，∵F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）是奇函數，
m≠0時，F（x）是非奇非偶函數，不妨取x=1，
得F（-1）=-2+m≠-2-m=-（2+m）=-F（1），
即存在x₀=1使得F（-x₀）≠-F（x₀），
故F（x）是非奇非偶函數．

點評 本題主要考查函數的奇偶性和二次函數在閉區(qū)間上的值域問題，屬于中檔題．