Question

18．已知非零向量$\overrightarrow a$=（cosα，cosα），向量$\overrightarrow b$=（sinα，cosθ-2sinα），向量$\overrightarrow c$=（1，2）．
（I）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tanα的值；
（II）若|${\overrightarrow b}$|=|${\overrightarrow c}$|，0＜α＜π，求α的值．

Answer 1

分析 （I）利用平面向量共線的性質，化簡可得3sinαcosα-cos²α=0，由cosα≠0，化簡可求$tanα=\frac{1}{3}$．
（II）由$|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}|$可知sin²α+（cosα-2sinα）²=5，利用三角函數恒等變換的應用化簡可求$sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又0＜α＜π，知$\frac{π}{4}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{9π}{4}$，利用正弦函數的圖象和特殊角的三角函數值即可解得α的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴sinαcosα-cosα（cosα-2sinα）=0，
∴3sinαcosα-cos²α=0，…（3分）
∵cosα≠0，
∴3sinα-cosα=0，
所以$tanα=\frac{1}{3}$．…（5分）
（II）由$|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}|$可知，∴sin²α+（cosα-2sinα）²=5，…（6分）
∴1-2sin2α+4sin²α=5，
∴-2sin2α+4sin²α=4．
∴sin2α+cos2α=-1．
∴$sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）
又0＜α＜π，知$\frac{π}{4}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{9π}{4}$，
∴$2α+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$或$2α+\frac{π}{4}=\frac{7π}{4}$．…（11分）
因此$α=\frac{π}{2}$或$α=\frac{3π}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量共線的性質，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和特殊角的三角函數值的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．