Question

10．已知函數f（x）=alnx-ax（a≠0）．
（I）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1-e≤0對任意x∈[e，e²]恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然常數）；
（Ⅲ）求證lnn!≤$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1-e，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數F（x）的最大值，進而確定a的范圍即可；
（Ⅲ）令a=1則f（x）=lnx-x，根據函數的單調性得到lnx＜x，對x取值，累加即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{a}{x}-a=a（\frac{1}{x}-1）=a\frac{（1-x）}{x}$
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，單調減區間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1]；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1-e=alnx+x+1-e
F′（x）=$\frac{x+a}{x}$=0，若-a≤e，a≥-e，F（x） 在[e，e²]是增函數，
$F{（x）_{max}}=F（{e^2}）=2a+{e^2}-e+1≤0，a≤\frac{{e-1-{e^2}}}{2}$無解．
若e＜-a≤e²，-e²≤a＜-e，F（x）在[e，-a]是減函數；x∈[-a，e²]是增函數，
F（e）=a+1≤0，a≤-1，.$F（{e^2}）=2a+{e^2}-e+1≤0，a≤\frac{{e-1-{e^2}}}{2}$
∴-e²≤a≤$\frac{e-1{-e}^{2}}{2}$，若-a＞e²，a＜-e²，F（x）x∈[e，e²]是減函數，
F（x）_max=F（e）=a+1≤0，a≤-1，∴a＜-e²，
綜上所述a≤$\frac{e-1{-e}^{2}}{2}$ （或用參數分離法）
（Ⅲ）令a=1則f（x）=lnx-x
由（1）知f（x）在[1，+∞）上單調遞減，又因為
f（1）＜0，所以有lnx＜x，
即ln2＜2，ln3＜3…lnn＜n，
∴$lnn!≤\frac{（n+2）（n-1）}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．