Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），M是C₁上的動點，P點滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，P點的軌跡為曲線C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=$\frac{π}{4}$與C₁的異于極點的交點為A，與C₂的異于極點的交點為B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求C₂的方程；
（2）求出射線θ=$\frac{π}{4}$與C₁的交點A的極徑為ρ₁=2；與C₂的交點B的極徑為ρ₂=4，即可得出結論．

解答 解：（1）設P（x，y），則由條件知M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），由于點M在C₁上，所以$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}cosα$，$\frac{y}{2}$=$\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα$
從而C₂的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosα}\\{y=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數）-----6分
（2）曲線C₁的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}sinθ$，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=4\sqrt{2}sinθ$
射線θ=$\frac{π}{4}$與C₁的交點A的極徑為ρ₁=2
射線θ=$\frac{π}{4}$與C₂的交點B的極徑為ρ₂=4
所以|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2-----12分

點評 本題考查軌跡方程，考查極坐標方程的運用，屬于中檔題．