Question

5．已知函數f（x）=-x³-x+sinx，若關于x的不等式$f（\frac{1}{x}）+f（x-m）＞0$在$[\frac{1}{2}，2]$上有解，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $m＜\frac{5}{2}$
• B． $m＞\frac{5}{2}$
• C． m＜2
• D． m＞2

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性得出f（x）＞f（m-x），再利用f（x）的單調性得出m＞x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式得出結論．

解答 解：f（x）的定義域為R，f（-x）=x³+x-sinx=-f（x），
∴f（x）是奇函數，
∵f（$\frac{1}{x}$）+f（x-m）＞0在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∴f（$\frac{1}{x}$）＞-f（x-m）=f（m-x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∵f′（x）=-3x²-1+cosx≤-3x²≤0，
∴f（x）是減函數，
∴$\frac{1}{x}$＜m-x在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，即m＞x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∵x$+\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1時取等號，
∴m＞2．
故選D．

點評 本題考查了函數單調性，奇偶性的判斷與應用，函數最值與函數存在性問題的處理方法，屬于中檔題．