Question

4．設向量$\overrightarrow{OA}$=（1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（a，-1），$\overrightarrow{OC}$=（-b，0），其中O為坐標原點，a＞0，b＞0，若A、B、C三點共線，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值為8．

Answer 1

分析 A、B、C三點共線，則$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，化簡可得2a+b=1．根據 $\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$=（1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（a，-1），$\overrightarrow{OC}$=（-b，0），其中O為坐標原點，a＞0，b＞0，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（a-1，1），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（-b-1，2），
∵A、B、C三點共線，
∴$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=λ（-b-1）}\\{1=2λ}\end{array}\right.$，
解得2a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）=2+2+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，當且僅當a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，取等號，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值為8，
故答案為：8

點評 本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，基本不等式的應用，屬于中檔題．