Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x≤a\\ 2x+3，x＞a\end{array}$，若方程f（x）+2x-8=0恰有兩個不同實根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$
• B． [-4，2]
• C． $（\frac{5}{4}，2]$
• D． $[{-4，\frac{5}{4}}]$

Answer 1

分析 函數f（x）的圖象與函數y=-2x+8共有兩個交點，可能為：兩個交點均為y=-2x+8與二次函數y=x²的交點，也可能為：兩個交點為y=-2x+8與y=2x+3的交點，另一個是y=-2x+8與二次函數y=x²的交點，進而得到答案．

解答 解：y=x²與y=-2x+8共有兩個交點（-4，16），（2，4），
y=2x+3與y=-2x+8有一個交點（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{2}$），
若方程f（x）+2x-8=0恰有兩個不同實根，
則函數f（x）的圖象與函數y=-2x+8共有兩個交點，
若兩個交點均為y=-2x+8與二次函數y=x²的交點，則a≥2，
若兩個交點為y=-2x+8與y=2x+3的交點，另一個是y=-2x+8與二次函數y=x²的交點，則-4≤a≤$\frac{5}{4}$，
綜相所述，a∈$[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，分段函數的應用，難度中檔．