Question

18．焦點在x軸上的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓與A，B兩點，且|AB|=1，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由焦點在x軸的橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，焦點在x軸上，即a²＞1，c²=a²-1，c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓與A，B兩點，丨AB丨為橢圓的通徑，則∴|AB|=2丨y丨=1，即可求得a的值，則c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：焦點在x軸的橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，焦點在x軸上，
即a²＞1，c²=a²-1，c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
右焦點F（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓與A，B兩點，
AB為橢圓的通徑，
∴當x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，解得：y=±$\frac{1}{a}$，
∴|AB|=2丨y丨=1，即$\frac{2}{a}$=1，解得：a=2，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的焦點坐標公式，考查橢圓通徑的應用，考查計算能力，屬于基礎題．