Question

8．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞減，若f（log₂a）+f（2log${\;}_{\frac{1}{4}}$a）≥2f（-1），則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 根據偶函數的定義將所給不等式等價轉化為不等式f（log₂a））≥f（-1）=f（1），再利用偶函數的單調性列出關于a的不等式，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞減，
故f（x）在（-∞，0]上單調遞增．
若f（log₂a）+f（2log${\;}_{\frac{1}{4}}$a）≥2f（-1），
即f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{4}}$a²）≥2f（-1），即f（log₂a）+f（${log}_{\frac{1}{2}}$a）≥2f（-1），
即f（log₂a）+f（-log₂a）≥2f（-1），即f（log₂a）+f（log₂a）≥2f（-1），
即f（log₂a）≥f（-1）=f（1），-1≤log₂a≤1，∴$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故答案為：$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性的綜合應用，易錯處是忽略定義域內的單調性不同，即對稱區間單調性相反，注意自變量的取值范圍，考查了學生的轉化能力．屬于中檔題．