Question

20．設函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+m$的極大值為1，則函數f（x）的極小值為（　　）

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+m$，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=x²-1=0，解得x=±1，
當x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0，
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數，在（-1，1）上是減函數；
故f（x）在x=-1處有極大值f（-1）=-$\frac{1}{3}$+1+m=1，解得m=$\frac{1}{3}$
f（x）在x=1處有極小值f（1）=$\frac{1}{3}$-1+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查函數的極值問題，屬基礎知識的考查．熟練掌握導數法求極值的方法步驟是解答的關鍵．