Question

10．已知命題p：函數f（x）=lg（ax²-ax+1）的定義域是R；命題$q：冪函數y={x^{（{1-{a^2}}）}}$在第一象限為增函數，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由“p∧q”為假，“p∨q”為真可知p，q一真一假，進而得到a的取值范圍．

解答 解：當p為真命題時，
∵f（x）=lg（ax²-ax+1）的定義域是R，
∴ax²-ax+1＞0對?x∈R都成立…（1分）
當a=0時，1＞0，適合題意．…（2分）
當a≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$得0＜a＜4…（3分）
∴a∈[0，4）…（4分）
當q為真命題時，
∵$y={x^{（{1-{a^2}}）}}$在第一象限內為增函數，
∴1-a²＞0，∴a∈（-1，1），…（6分）
“p∧q”為假，“p∨q”為真可知p，q一真一假，…（7分）
（1）當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜4\\ a≤-1或a≥1\end{array}\right.$，∴a∈[1，4）…（9分）
（2）當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}a＜0或a≥4\\-1＜a＜1\end{array}\right.$，∴a∈（-1，0）…（11分）
∴a的取值范圍是{a|-1＜a＜0或1≤a＜4}．…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了四種命題，對數函數的圖象和性質，冪函數的圖象和性質等知識點，難度中檔．