Question

5．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=9，a₂a₄=21，數列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，若${b_n}＜\frac{1}{10}$，則n的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的公差為d，由S₃=9，a₂a₄=21，可得3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=9，（a₁+d）（a₁+3d）=21，可得a_n．由數列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，利用遞推關系可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．對n取值即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，
∵S₃=9，a₂a₄=21，∴3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=9，（a₁+d）（a₁+3d）=21，
聯立解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵數列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，
∴n=1時，$\frac{{b}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2時，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
若${b_n}＜\frac{1}{10}$，則$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{10}$．
n=7時，$\frac{13}{128}$＞$\frac{1}{10}$．
n=8時，$\frac{15}{256}$＜$\frac{1}{10}$．
因此：${b_n}＜\frac{1}{10}$，則n的最小值為8．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列通項公式與求和公式、數列遞推關系及其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．