Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n（{n∈{N^*}}）$，數列{b_n}滿足${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，則數列{a_n•b_n}的前n項和T_n=10+（3n-5）2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1求出數列{a_n}的通項公式，然后利用${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，求出數列{b_n}通項公式；利用c_n=a_nb_n．求出數列c_n的通項公式，寫出前n項和T_n的表達式，利用錯位相減法，求出前n項和T_n．

解答 解：由已知得，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1）]=3n-2，
又a₁=1=3×1-2，符合上式．
故數列{a_n}的通項公式a_n=3n-2．
又因為${a_n}=3{log_2}{b_n}-2（{n∈{N^*}}）$，
所以log₂b_n=$\frac{1}{3}$（a_n+2）=n，即b_n=2ⁿ，
令c_n=a_nb_n．
則c_n=（3n-2）•2ⁿ．
所以T_n=1×2¹+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+4×2³+7•2⁴+…+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，②
由②-①得：-T_n=2+3•2²+3•2³+…+（3n-5）•2ⁿ⁺¹=3×（2+2²+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-5）•2ⁿ⁺¹-10，
所以T_n=10+（3n-5）2ⁿ⁺¹
故答案是：10+（3n-5）2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，數列求和等基礎知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發現問題解決問題的能力．