Question

11．已知函數f（x）=-2x²+ax+b且f（2）=-3．
（1）若函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求函數f（x）在區間[-2，3]上的值域；
（2）若函數f（x）在區間[1，+∞）上遞減，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數的對稱軸與函數值求解a，b，然后通過二次函數的閉區間求解函數的最值即可．
（2）利用對稱軸與二次函數的單調減區間的關系，列出不等式，以及函數值的關系，求解即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{4}=1\\-8+2a+b=-3\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-3\end{array}\right.$．
∴f（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1，x∈[-2，3]．
∴f（x）_min=f（-2）=-19，f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數f（x）在區間[-2，3]上的值域為[-19，-1]．
（2）∵函數f（x）在區間[2，+∞）上遞減，
∴$\frac{a}{4}≤1⇒a≤4$．
又f（2）=-3，∴b=-2a+5，
∵a≤4，
∴b≥-3．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．