Question

19．如圖，已知一個八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD 為正方形，則下列命題中的假命題是（　�。�

• A． 不平行的兩條棱所在的直線所成的角是60^o或90^o
• B． 四邊形AECF是正方形
• C． 點A到平面BCE的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． 該八面體的頂點不會在同一個球面上．

Answer 1

分析 對4個命題分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：因為八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，
所以在四棱錐E-ABCD中，相鄰兩條側棱所成的角為60°，而像AE與CE所成的角為90°，A正確
因為AE=CE=1，AC=$\sqrt{2}$，滿足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四邊形AECF是正方形；故B正確；
設點A到平面BCE的距離h，由V_E-ABCD=2V_A-BCE，
所以$\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=2×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
所以點A到平面BCE的距離$\frac{\sqrt{6}}{3}$；故C正確；
該八面體的頂點會在同一個球面上，球心為ABCD的中心，故不正確．
故選：D．

點評 本題考查了立體幾何中線線關系以及線面關系，利用了等積法求點到平面的距離．