Question

2．已知：方程$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$=kx+2有兩個不等實根，則k的取值范圍為（　　）

• A． [-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• B． （-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

Answer 1

分析 設函數y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$和y=kx+2，在坐標系中分別作出兩個函數的圖象，根據圖象交點個數確定k的取值范圍，

解答 解：設y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，y=kx+2，
在同一坐標系在圖象如圖：
當直線y=kx+2與橢圓的上半部分相切時即$\frac{{x}^{2}}{4}+（kx+2）^{2}=1$只有一個解時得到k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線與橢圓的上半部分有兩個交點時的斜率絕對值的最大值為$\frac{2-0}{2-0}$=1，
所以方程$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$=kx+2有兩個不等實根的k 的取值范圍
[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
故選A．

點評 本題主要考查方程根的個數的判斷，利用方程和函數之間的關系，利用數形結合是解決此類問題的關鍵．