Question

11．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$cosβ=-\frac{1}{3}$，$sin（{α+β}）=\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$．
（ I）求tan2β的值；
（ II）求α的值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinβ，tanβ，進而利用二倍角的正切函數公式即可求得tan2β．
（II）由已知可求范圍α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函數基本關系式可求cos（α+β）的值，進而利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解cosα的值，結合范圍$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可求α=$\frac{π}{4}$．

解答 （本題滿分為14分）
解：（ I）∵$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$cosβ=-\frac{1}{3}$，可得：sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…2分
∴tan$β=\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}}$=-2$\sqrt{2}$，…4分
∴tan2β=$\frac{2tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$…7分
（ II）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
又∵$sin（{α+β}）=\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，…9分
∴cosα=cos（α+β-β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$）×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴α=$\frac{π}{4}$．…14分

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，二倍角的正切函數公式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．