Question

14．已知兩點A（-3，4），B（3，2），將直線l：kx-y-2k-1=0繞著它所過的定點旋轉90°得到直線l′，若直線l′與射線AB有公共點，則實數k的取值范圍為$[-\frac{1}{3}，1]$．

Answer 1

分析 直線l：kx-y-2k-1=0，即k（x-2）-y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{-y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-1．可得直線l經過定點P（2，-1）．直線l：kx-y-2k-1=0繞著它所過的定點旋轉90°得到直線l′：y+1=$-\frac{1}{k}$（x-2），（k≠0）．利用斜率計算公式可得k_PA，k_PB，根據直線l′與射線AB有公共點，即可得出．

解答 解：直線l：kx-y-2k-1=0，即k（x-2）-y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{-y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-1．可得直線l經過定點P（2，-1）．
直線l：kx-y-2k-1=0繞著它所過的定點旋轉90°得到直線l′：y+1=$-\frac{1}{k}$（x-2），（k≠0）．
k_PA=$\frac{4-（-1）}{-3-2}$=-1，k_PB=$\frac{2-（-1）}{3-2}$=3，
∵直線l′與射線AB有公共點，則實數k的取值范圍為$-\frac{1}{k}$≥3，或-$\frac{1}{k}$≤-1，
解得0＞k$≥-\frac{1}{3}$，或0＜k≤1．
k=0時也滿足．
綜上可得：實數k的取值范圍為$[-\frac{1}{3}，1]$．
故答案為：$[-\frac{1}{3}，1]$．

點評 本題考查了直線方程、斜率計算公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．