Question

5．已知定義在（1，+∞）上的函數f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=-x²+2x，記函數g（x）=f（x）-k（x-1），若函數g（x）恰有兩個零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 根據題中的條件得到函數的解析式為：當x∈（1，2]時，f（x）=-x²+2x，進一步分別得到函數在（2，4]，（4，8]的解析式，在坐標系在畫出f（x）的圖象，又y=k（x-1）的函數圖象是過定點（1，0）的直線，再結合函數的圖象根據題意求出參數的范圍即可．

解答 解：因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，
且當x∈（1，2]時，f（x）=-x²+2x，
f（x）=2[-（$\frac{x}{2}$^）2+x]=$-\frac{{x}^{2}}{2}+2x$，x∈（2，4]，
f（x）=4[-（$\frac{x}{4}$）²+$\frac{x}{2}$]=$-\frac{{x}^{2}}{4}+2x$，x∈（4，8]，
…
由題意得y=k（x-1）的函數圖象
是過定點P（1，0）的直線，
其中A（2，2），
B（4，4），
如圖所示直線與線段AB相交即可
（可以與B點重合但不能與A點重合），
k_PA=2，k_PB=$\frac{4}{3}$，
所以可得k的范圍為
$\frac{4}{3}$≤x＜2．
故選B．

點評 解決此類問題的關鍵是熟悉求函數解析式的方法以及函數的圖象與函數的性質，數形結合思想是高中數學的一個重要數學數學，是解決數學問題的必備的解題工具．