Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，（x＜1）}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若f（f（a））=lnf（a），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，e）
• B． [e，+∞）
• C． [$\frac{3}{2e}$，3]
• D． （2，e]

Answer 1

分析 對a討論，分a＜1，a=1，1＜a＜e，a≥e，結合分段函數和對數函數的單調性，即可得到a的范圍．

解答 解：由x＜1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$遞增，且有f（x）＜0；
由x≥1，f（x）=lnx遞增，且有f（x）≥0，
若f（f（a））=lnf（a），
若a＜1，則f（a）＜0，不成立；
當a≥1時，f（a）=lna≥0，（a=1顯然不成立），
當1＜a＜e，可得0＜lna＜1，f（a）=lna∈（0，1），
則f（f（a））=f（lna）=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
lnf（a）=ln（lna）＜0，
f（f（a））=lnf（a）不恒成立．
當a≥e時，f（a）=lna≥1，
即有f（f（a））=f（lna）=ln（lna），
lnf（a）=ln（lna），
則f（f（a））=lnf（a）恒成立．
故選：B．

點評 本題考查分段函數的應用，注意運用分類討論思想方法，考查對數函數的性質，考查化簡運算和推理能力，屬于中檔題．