Question

4．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x≥0}\\{{a}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，（x＞0且a≠1）的圖象經過點（-2，3）．
（Ⅰ）求a的值，并在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）若f（x）在區間（m，m+1）上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數的圖象經過點（-2，3），求出a，得到函數解析式，然后畫出圖象．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數的圖象，可知函數的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（-∞，0），（2，+∞），推出m的取值范圍．

解答 本題滿分（12分）．
解：（Ⅰ）∵函數的圖象經過點（-2，3），∴a^-2-1=3，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x\;，x≥0\\{（\frac{1}{2}）^x}-1，x＜0.\end{array}\right.$
其圖象如圖所示：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（-∞，0），（2，+∞），
∴m+1≤0或m≥2或$\left\{\begin{array}{l}m+1≤2\\ m≥0\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍為m≤-1或0≤m≤1或m≥2．

點評 本小題考查二次函數、指數函數、分段函數等基礎知識，考查函數的基本性質；考查運算求解能力、推理論證能力；考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想．