Question

17．已知二次函數f（x）=x²-mx+1，
（1）若函數y=f（x）是偶函數，求實數m的取值范圍；
（2）若函數g（x）=f（x）+（2m-1）x-9，且?m∈[-1，3]，都有g（x）≤0恒成立，求實數x的取值范圍；
（3）若函數h（x）=f（x）-（1-m）x²+2x，求函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）．

Answer 1

分析 （1）偶函數f（-x）=f（x）⇒x²+mx+1=x²-mx+1，可求實數m的取值范圍；
（2）?m∈[-1，3]，g（x）=f（x）+（2m-1）x-9=x²+（m-1）x-8≤0恒成立?$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$，解之即得實數x的取值范圍；
（3）若函數h（x）=f（x）-（1-m）x²+2x=mx²+（2-m）x+1，分$0＜m≤\frac{2}{3}$、m＞$\frac{2}{3}$、當m＜0及m=0四類討論，即可求得函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）．

解答 解：（1）函數y=f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）
∴x²+mx+1=x²-mx+1，∴2mx=0，
∴m=0．…4分
（2）g（x）=f（x）+（2m-1）x-9=x²+（m-1）x-8，
∵?m∈[-1，3]，都有g（x）≤0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$，…7分
∴實數x的取值范圍[-2，2]…10分
（3）h（x）=mx²+（2-m）x+1
①當$0＜m≤\frac{2}{3}$時，函數y=h（x）的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}＜-1$，
∴函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=2m-1；
②當m＞$\frac{2}{3}$時，函數y=h（x）的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}∈[{-1，1}]$，∴函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值$H（m）=h（\frac{m-2}{2m}）=2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m}$…13分
③當m＜0時，函數y=h（x）的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}＞0$，∴函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=2m-1
④當m=0時，函數y=h（x）=2x+1∴函數y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=-1
綜上：$H（m）=\left\{\begin{array}{l}2m-1，m≤\frac{2}{3}\\ 2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m}，m＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$…16分

點評 本題考查函數恒成立問題，考查二次函數的性質，突出考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用，屬于難題．