Question

12．已知四面體ABCD的頂點都在球O的球面上，AD=AC=BD=2，CD=2$\sqrt{2}$，∠BDC=90°，平面ADC⊥平面BDC，則球O的體積為4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 由題意，BC的中點O′是△DBC外接圓的圓心，設球心為O，OO′=d，球的半徑為R，則由勾股定理可得R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，求出球的半徑，即可求出球O的體積．

解答 解：由題意，BC的中點O′是△DBC外接圓的圓心，設球心為O，OO′=d，球的半徑為R，則
由勾股定理可得R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，∴R=$\sqrt{3}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}•（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}$π．
故答案為4$\sqrt{3}$π．

點評 本題考查球O的體積，考查學生的計算能力，求出球O的半徑是關鍵．