Question

11．數列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項和且S_n=2n-a_n，
（1）求a₁，a_n；
（2）若數列{b_n}中，b_n=n（2-n）（a_n-2），且對任意正整數n，都有${b_n}+t≤2{t^2}$，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系、等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用數列的單調性即可得出．

解答 解：（1）設n=1時，a₁=1，
由已知S_n=2n-a_n…①，得S_n+1=2n+2-a_n+1…②
②式減①式得${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$，
∴${a_{n+1}}-2=\frac{1}{2}（{{a_n}-2}）$，
∴{a_n-2}是-1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列．
∴a_n-2=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，${a_n}=2-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．
（2）${b_n}=\frac{{n（{n-2}）}}{{{2^{n-1}}}}，{b_{n+1}}-{b_n}=\frac{{-{n^2}+4n-1}}{2^n}$，
n≤3時，b_n+1-b_n＞0，n≥4時，b_n+1-b_n＜0，（b_n）_max=b₄=1．
∴1+t≤2t²，2t²-t-1≥0；
t≥1或$t≤-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列與等比數列的通項公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．